再就職先は決まっていませんが、雇用保険の失業給付受給資格は被保険者期間が１２ヵ月以上あるとなっているため、受給資格がありません
ハローワークに相談するという選択肢は？
雇用保険には加入しています
退職理由により、異なります
2月末に退職の予定です
雇用保険加入期間が6年（5年以上）あれば所定給付日数は180日（約6ヶ月）ありますよ
Ｂ社に対しては、Ａ社の退職の事実そのものは知られても構わないと思っていますが、退職理由や経緯は知られたくありません
ご自分で以前のＢ社の給料明細等で雇用保険の加入がされてたかどうか確認してみてはどうですか？それとＢ社を退職した時点で雇用保険の登録証もしくは雇用保険の被保険者証のような書類は貰ってなかったでしょうか？一応探してみてから連絡してみてはどうでしょうか